BANGUN
RUANG
CARA
MENURUNKAN RUMUS VOLUME BANGUN
RUANG
Sebagai
Pemenuhan Tugas Pendidikan Matematika
dengan Dosen Pengampu
Dra. Titik Sugiarti , M.Pd dan Fajar Surya Hutama,
S.Pd, M.Pd
Oleh
Kelompok 8 :
Dewi Afiatun Hasanah (150210204001)
Ulfa Nur MAhmudah (150210204021)
Iva Sisviana (150210204088)
Alfiatun Mutammimah (150210204111)
Fifi Dwi Setia Rini (150210204137)
Kelas B
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU
PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2016
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan
kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmat Dan hidayah-Nya
sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul “Cara Menurunkan
Rumus Volume Bangun Ruang” ini dengan sebaik-baiknya.
Kami sadar bahwa makalah ini
tidak dapat terselesaikan dengan baik tanpa bantuan dosen pengampu, rekan-rekan
dan pihak-pihak yang telah membantu baik secara moril maupun spiritual. Untuk
itu kami mengucapkan terima kasih. Dan harapan kami semoga makalah ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak.
“Tiada Gading yang tak Retak”
pepatah itulah yang mewakili ungkapan perasaan kami bahwa makalah ini jauh dari
sempurna, maka kiranya kritik dan saran sangat kami nanti dari para pembaca.
Jember, 24 Pebruari 2016
Penyusun
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL
KATA PENGANTAR………………………………………………………… i
DAFTAR ISI………………………………………………………………….. ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 LatarBelakang……………………………………………………. 1
1.2 Tujuan……………………………………………………………... 1
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Bangun Ruang………………………………………… 2
2.2
Macam-macam Bangun Ruang…………………………………… 2
2.3
Pengenalan Bangun Ruang……………………………………….. 2
2.4
Contoh Soal Bangun Ruang……………………………………… 11
BAB III PENUTUP
3.1
Kesimpulan………………………………………………………. 18
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LatarBelakang
Pengetahuangeometridapatmengambangkanpemahamananakterhadapduniasekitarnya.
Tidakhanyakemampuantentangbangundatar,
kemampuantentangbangunruangpundapatdikenalkankepadaanakusiaSekolahDasarbahkanpadaanakusia
Taman Kanak-kanakasalkanmelaluipendekatan yang
cocokdenganperkembangantahapberfikirseoranganak.
Kemampuan bangun ruang akan membantu anak memahami,menggambarkan,
atau mendekripsikan benda-benda di
sekitar anak.Anak akan lebih tertarik untuk mempelajari geometri jika mereka terlihat secara aktif dalam kegiatan-kegiatan individu atau kelompok berkenaan dengan geometri (bangunan-bangunan).
Anak hendaknya diberi kesempatan untuk melakukan inventigasi secara individu atau kelompok dengan bantuan benda - benda kongkret
di sekitar anak.
1.2 Tujuan
Untuk mengetahui bagaimana
cara menurunkan rumus bangun ruang.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Volume Bangun Ruang
Volume
adalah suatu ukuran yang menyatakan besar suatu bangun ruang. Mengukur volume
berarti membandingkan besar sesuatu dengan sesuatu yang mempunyai besar tertentu,
yaitu sesuatu bangun ruang yang menjadi patokan yang disebut satuan volume (volume
satuan). Pada umumnya yang digunakan sebagai patokan satuan volume (satuan)
untuk mengukur volume bangun ruang adalah kubus (kubus satuan) yang
rusuknya mempunyai panjang satu satuan.
Bangun ruang merupakan bangun
matematika yang memiliki isi atau volume. Bisa juga disebut bagian ruang yang
dibatasi oleh himpunaan titik-titik yang terdapat pada seluruh permukaan bangun
tersebut. Permukaan bangun itu disebut sisi.
Sisi merupakan bidang pada
bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya,
Rusuk merupakan pertemuan dua sisi yang berupa ruas garis pada bangun ruang
sedangkan Titik sudut adalah titik dari hasil pertemuan rusuk yang berjumlah
tiga atau lebih.
Pada umumnya bangun ruang yang
telah kita kenal adalah balok, kubus, prisma, limas, kerucut, dan
tabung. Pada setiap bangun ruang tersebut mempunyai rumusan dalam
menghitung luas maupun isi/volumenya.
2.2
Macam-macam Bangun Ruang
1.
Kubus
2.
Balok
3.
Prisma
4.
Limas
5.
Kerucut
6.
Tabung
Sebelum secara panjang lebar dijelaskan mengenai macam-macam
volume bangun ruang, maka sebaiknya kita mengetahui terlebih dahulu beberapa sifat
volume dansatuan volume yang digunakan secara internasional, yaitu sebagai berikut:
1.
Volume
bersifat penjumlahan, artinya volume keseluruhan sama dengan jumlah dari volume
bagian-bagiannya.
2.
Jika bangun ruang R =
bangun ruang S, maka volume bangun ruang R samadengan volume bangun ruang S.
3.
Jika bangun ruang dipotong-potong kemudian disusun sehingga membentuk bangun ruang
yang lain, maka dua bangun tersebut mempunyai volume yang sama..
4.
Volume
bersifat penjumlahan, artinya volume keseluruhan sama dengan jumlah dari volume
bagian-bagiannya.
5.
Jika bangunruang R =
bangun ruang S, maka volume bangun ruang R sama dengan volume bangun ruang S.
6.
Jika bangun ruang dipotong - potong kemudian disusun sehingga membentuk bangun ruang
yang lain, maka dua bangun tersebut mempunyai volume yang sama..
2.3
Pengenalan Bangun Ruang
1. Kubus
Untuk menghitung
volume kubus sepertigambar dibawah ini,
dengan menggunakan kubus satuan.Kubus satuan dimasukkan kedalam rongga kubus sampai tepat mengisi penuh balok tersebut kemudian dihitung berapa banyak kubus satuan
yang dapat memenuhi balok.
Pada gambar disamping untuk memenuhi kubus terdapat 8
kubus satuan agar kubus dapat terpenuhi, maka volume kubus adalah 8 satuan yang
terdiri dari 2 kubus satuan untuk panjang, 2 kubus satuan untuk lebar, dan 2
kubus satuan untuk tinggi
 |
Kita dapat melakukan percobaan untuk
mengetahui, berapa banyak kubus kecil mengisi kubus besar tersebut. Apabila
kita lakukan percobaan, maka kita akan mendapatkan bahwa ada 64 kubus kecil
yang mengisi kubus besar tersebut. Dengan demikian kita katakan bahwa volume
kubus dengan panjang sisi 4 cm adalah 64 satuan volume, dengan satuan volume
yang dimaksud adalah volume kubus dengan panjang sisi 1cm.
Dari
penjelasan diatas dapat dituliskan kedalam tabel berikut:
Isi
|
Panjang
(a/rusuk)
|
Lebar
(a/rusuk)
|
Tinggi
(a/rusuk)
|
Volume
(isi) = a x a x a = a3
|
8
|
2
|
2
|
2
|
8
|
64
|
4
|
4
|
4
|
64
|
Maka dapat dikatakan bahwa rumus dari volume
kubus yaitu:
Rumus
volume kubus
V = s3 yang
dimana rumus tersebut diperoleh dari V= s x s x s.
2. Balok
Pada bangun ruang yang
disebut balok kita akan mengenal yang namanya panjang, lebar, dan tinggi. Agar
tidak terjadi suatu kerancuan dengan ketiga istilah tersebut maka kita perlu
membuat batasannya. Istilah panjang dan lebar dipakai sebagai ukuran untuk sisi-sisi
yang terdapat pada balok, sedangkan tinggi digunakan sebagai ukuran dari sisi
yang tegak lurus alas, untuk memudahkan pemahaman maka balok digambar secara
tegak dan alas dari balok merupakan bidang datar yang ada dibawah. Panjang
menyatakan ukuran sisi pada alas balok yang lebih besar dari sisi yang lain,
dan ukuran sisi yang lain disebut lebar.
Lebih
jelasnya, perhatikan gambar.
Balok pada gambar dinamakan balok ABCD.EFGH.
Alas balok adalah bidang persegi panjang ABCD dan tinggiya adalah sisi AE atau
BF atau CG atau DH. Jika ukuran dari sisi Ab lebih besar dari ukuran sisi BC
maka ukuran dari sisi AB disebut panjang, dan ukuran dari sisi BC disebut
lebar. Volume dari suatu balok yang panjang, lebar, dan tinggi berturut-turt p,
l, t satuan panjang adalah ( p x l x t ) satuan panjang kubik.
 |
Dengan :
V adalah volume dari balok
p adalah panjang balok
l adalah lebar balok
t adalah tinggi balok
Satuan dari panjang, lebar, dan tinggi haruslah sama, sedangkan,
hasil kali ( p x l ) satuan panjang kuadrat menyatakan luas dari alas balok.
Bukti untuk memudahkan
pembuktian, kita misalkan satuan dari panjang, lebar,
dan tinggi adalah sentimeter.
balok kita namakan dengan ABCD. EFGH ditutup dengan kubus satuan (kubus sentimeter). Alas balok ditutup dengan p lajur yang setiap lajur terdiri dari
1 buah kubus satuan. Berarti unutk menutupi alas balok diperlukan kubus satuan
sebanyak (p x l ) buah. Jadi, untuk menutupi balok ABCD.EFGH diperlukan kubus
sebanyak.
Untuk menghitung volume balok seperti gambar disamping,
dengan menggunakan kubus satuan.Kubus satuan dimasukkan kedalam rongga balok sampai tepat mengisi penuh balok tersebut kemudian dihitung berapa banyak kubus satuan
yang dapat memenuhi balok.
Selanjutnya pada gambar balok yang lain
terdapat 8 kubus satuan yang dapat memenuhi balok
pada
balok terdapat 16 kubus satuan untuk memenuhi balok tersebut.
Kemudian pada percobaan kedua
terdapat 24 kubus satuan yang dapat memnnuhi balok, dengan panjang balok 4
kubus satuan, lebar 2 kubus satuan, dan tinggi 3 kubus satuan. Maka jumlah
kubus yang memenuhi balok yaitu 24 kubus satuan.
Dari beberapa penjelasan diatas dapat
dituliskan kedalam tabel berikut:
isi
|
Panjang (p)
|
Lebar (l)
|
Tinggi (t)
|
Volume (p
x l x t)
|
8
|
4
|
2
|
1
|
8
|
24
|
4
|
2
|
3
|
24
|
Dari tabel diatas terdapat
hubungan antara panjang (p), lebar (l), tinggi (t) serta volume (v),
yaitu untuk mencari volume balok adlah dengan mengalikan panjang, lebar, dan
tinggi. Dengan demikian dapat dituliskan bahwa:
Vbalok= p x l xt
|
3. Prisma
Perhatikangambarbangunruangberikut?
Bangun-bangun
ruang di atas semuanya mempunyai dua bidang yang sejajar serta bidang-bidang
lainnya berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Bangun-bangun ruang
seperti inilah yang dinamakan prisma. Jadi prisma adalah bangun ruang yang
memiliki sepasang bidang sejajar dengan konguren yang merupakan alas dan tutup.
Sedangkan bidang-bidang lainnya diperleh dengan menghubungkan titik-titik sudut
dari dua bidang yang sejajar.
Jenis prisma ada beberapa macam
yang diberi nama sesuai bentuk alas prisma.
Contohdarigambardiaatas:
a.
Prismasegiempat,
karenakeduabudang yang sejajarberupasegiempat
b.
Prismasegi
lima
c.
Prismasegitiga
Jika kita perhatikan semua prisma (a), (b), (c) mempunyai rusuk-rusuk yang tegak.
Prisma seperti ini dinamakan prisma tegak. Sebaliknya jika kita perhatikan gambar prisma
(d) mempunyai rusuk-rusuk tidak tegak lurus dengan alas dantutupnya.
Prisma seperti ini dinamakan prisma miring. Tetapi untuk kali
ini kita akan membahas prisma tegak saja.
Rumus Volume Prisma = panjang x lebar x tinggi
Membuktikan rumus
volume prisma dengan menggunakan :
1. Prismategaksegitigasiku-siku
Dari
gambar diatas dapat diketahui bahwa prisma tegak segitiga siku-siku merupakan
hasil dari membelah balok
menjadi dua bagian yang sama besar dimana perpotongan tersebut di ambil dari
diagonal bidang ruangnya.
Dari fakta diatas
diperoleh bahwa :
Volume prisma tegak segitiga siku-siku =
1/2 x volume balok
Volume prisma tegak segitiga siku-siku = 1/2
x p x l x t
Volume prisma tegak segitiga siku-siku = (1/2 x p x l) x t
Volume prisma tegak segitiga siku-siku = Luas
alas x t
Jadi volume prisma tegak segitiga siku-siku
adalah Lalas x t
4. Limas
Sekarang perhatikan bangun-bangun ruang di bawah ini!
Bangun-bangun
ruang di atas memiliki satu bidang sebagai alas, sedangkan bidang-bidang
lainnya berbentuk segitiga yang bertemu pada satu titik puncak. Bangu ruang
seperti iniah yang dinamakan limas.Bangun-bangun ruang di atas memiliki satu bidang sebagai alas,
sedangkan bidang-bidang lainnya berbentuk segitiga yang bertemu pada satu titik
puncak.
Sama seperti dalam
menurunkan rumus volume prisma, untuk membuktikan volume limas dapat dilakukan
dengan beberapa cara yaitu :
1. Cara Induktif Pertama
Untuk membuktikan
volume limas secara induktif, dilakukan dengan peragaan menakar. Dalam peragaan
menakar ini akan digunakan penakar sebuah sebarang limas untuk menakar prisma
pasangannya. Yang dimaksud dengan prisma pasangannya adalah prisma yang alasnya
kongruen dengan alas limas dan tingginya sama dengan tinggi limas. Untuk lebih
jelasnya perhatikan gambar berikut :
Dari hasil menakar,
kita mendapatkan bahwa prisma terisi penuh dengan 3 kali takar dari limas.
Dengan kata lain, volume prisma sama dengan 3 kali volume limas. Dapat
diformulasikan sebagai berikut:
Vprisma = 3 x Vlimas
Vlimas =
1/3 x Vprisma
Telah diketahui bahwa volume prisma adalah Lalas x t, maka
Vlimas =
1/3 x Lalas
x t
Jadi, volume limas adalah Vlimas =
1/3 x Lalas
x t
2. Cara Induktif kedua
Untuk cara induktif
yang kedua kita menggunakan sebuah kubus yang didalamnya memiliki empat buah
diagonal ruang yang saling berpotongan di titik O. jika diamati dengan
baik maka kita akan mengetahui bahwa di dalam kubus tersebut terdapat 6 buah
limas segiempat yaitu limas persegi : O.ABCD , O.EFGH , O.ABFE , O.BCGF ,
O.CDHG dan O.DAEH. Dengan demikian, volume kubus
ABCD.EFGH merupakan gabungan volume ke-6 limas tersebut. Untuk lebih jelasnya
perhatikan gambar berikut :
Penguraiannya sebagai
berikut :
Misalkan panjang rusuk
kubus = s
Vkubus = 6 x Vlimas
Vlimas = 1/ 6
x Vkubus
Karena volume kubus = S3, maka
Vlimas =
1/6 x S3
Vlimas =
1/6 x s x s x s
Vlimas =
1/6 x s2 x s
Vlimas =
1/6 x s2 x 2s/s
Vlimas =
1/3 x 2 x s2 x 1/2s
Vlimas =
1/3 x s2 x 1/2s
Karena S2
merupakan rumus dari luas persegi (alas) dan
adalah tinggi limas, maka
Vlimas = 1/3
alas x t
Seara umum dapat disimpulkan bahwa volume limas adalah
luas
alas x tinggi
5. Kerucut
Volume kerucut dapat dianggap sebagai limas
dengan alas lingkarang, sehingga rumus volume limas juga berlaku untuk volume
kerucut. Melalui penjelasan dalam proses pembelajaran seperti diatas, denagn
mudah kita mendapatkan rumus volume kerucut, yaitu sebagai berikut :
Suatu
kerucut dapat dianggap sebagai limas dengan alas lingkaran, sehingga rumus
volume limas juga berlaku untuk volume kerucut.
 |
(luas alas kerucut = luas lingkaran =
)
Volume
kerucut = volume limas
=
luas alas x tinggi
=
2t ( luas alas kerucut = luas lingkaran =
r2
)
Atau menggunakan tabung
Disini, kita juga membuktikannya melalui peragaan
dengan menakar menggunakan kerucut dan tabung pasangannya.
Yang dimaksud dengan tabung pasangan disini adalah tabung yang luas alas dan tingginya sama dengan kerucut. Perhatikan gambar di bawah :
Yang dimaksud dengan tabung pasangan disini adalah tabung yang luas alas dan tingginya sama dengan kerucut. Perhatikan gambar di bawah :
Dari hasil penakaran yang pernah dilakukan (boleh
dibuktikan sendiri dirumah), ternyata isi tabung sama dengan 3 kali isi
kerucut. Itu berarti bahwa volume tabung sama dengan tiga kali volume
kerucut.sehingga :
Teorema
Kerucut
Volume (V) dari kerucut
dengan jari-jari alasnya r dan tinggi t adalah
V =
r2t
6. Tabung
Pada gambar ditas menunujukan gambar sebuah
tabung. Jika gambar a dibuka maka diperoleh gambar b. Dari gambar b diperoleh 2
buah lingkaran yang sama dalam bentuk dan ukurannya serta sebuah selimut
tabung.
Jadi unsur-unsur dari sebuah tabung
masing-masing terdiri dari 2 lingkaran yang sama dengan selimut tabung.
Volume tabung
Untuk membuktikan volume
tabung, dapat dilakukan beberapa cara di antaranya sebagai berikut :
Cara Induktif
Disini kita pandang bahwa
tabung adalah prisma tegak segi-n beraturan dengan “n” tak terhingga. Oleh
karena itu, kita akan memperoleh :
BAB III
PEBUTUP
3.1 Kesimpulan
Bangun ruang adalah
bangun matematika yang mempunyai isi ataupun volume.Bagian-bagian bangun ruang
:
1. Sisi: bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun
ruang dengan ruangan di sekitarnya.
2.
Rusuk:
pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangun ruang.
3.
Titik
sudut: titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih.
Jenis-jenis bangun ruang yang umum dikenal
adalah:
1. Balok
2. Kubus
3. Prisma
4. Limas
5. Kerucut
6. Tabung
DAFTAR PUSTAKA
BUKU UT ( MUCHTAR ABDUL KARIM,
dkk), Pendidikan Matematika
0 komentar:
Posting Komentar